В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 15, AD = 8, AA₁ = 21. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины B, B₁, D.

Пусть A(0,0,0), тогда
B(15,0,0), D(0,8,0), A₁(0,0,21), B₁(15,0,21), D₁(0,8,21).

Плоскость через точки B, B₁, D содержит векторы
$\overrightarrow{BD}=(-15,\,8,\,0)$ и $\overrightarrow{BB_1}=(0,\,0,\,21)$.
Точка $D_1$ тоже лежит в этой плоскости, потому что
$\overrightarrow{BD_1} = (-15,\,8,\,21) = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BB_1}$.

Значит искомое сечение — четырёхугольник $B B_1 D_1 D$.
Проверим, что это прямоугольник:
$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BB_1}=(-15)\cdot 0 + 8\cdot 0 + 0\cdot 21=0$, то есть стороны перпендикулярны.

Длины сторон:
$|BD|=\sqrt{15^2+8^2}= \sqrt{225+64}=17$, $|BB_1|=AA_1=21$.

Площадь сечения равна площади прямоугольника:

Ответ: $357$.