Найти наименьшее значение функции на промежутке (9;36): y = (2/3)*x*√x - 6x + 5.

Рассмотрим $y(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-6x+5=\frac{2}{3}x^{3/2}-6x+5$.

Производная:

Критическая точка из $y'(x)=0$ даёт $\sqrt{x}=6\Rightarrow x=36$, но $36$ не входит в открытый промежуток $(9;36)$.

На $(9;36)$ имеем $\sqrt{x}<6\Rightarrow y'(x)<0$, то есть функция строго убывает на всём промежутке. Следовательно, «внизу» она стремится к значению в правом конце.

Вычислим предел при $x\to 36^{-}$:

Итог: на открытом промежутке $(9;36)$ наименьшего значения нет (минимум не достигается), но точная нижняя грань (инфимум) равна $-67$. Если бы конец $36$ входил, минимум был бы $-67$ при $x=36$.