Найти наименьшее значение функции \( y = x^2 + \frac{25}{x} \) на промежутке \([1; 10]\).

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^2 + \frac{25}{x}$ на промежутке $[1; 10]$, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдём производную функции

Для начала найдем производную функции $y$ по переменной $x$:

Используем правила дифференцирования:

Тогда производная функции:

Шаг 2: Найдём критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Переносим все члены на одну сторону:

Умножим обе части на $x^2$ (при $x \neq 0$):

Решим для $x$:

Шаг 3: Проверим критические точки на интервале

Теперь проверим, находится ли полученная точка на заданном интервале $[1; 10]$. Полученное значение $x \approx 2.92$ лежит в пределах интервала, значит, это критическая точка.

Шаг 4: Анализируем поведение функции на концах интервала

Нам нужно также проверить значения функции на концах интервала, так как минимум может быть и в этих точках.

При $x = 1$:

При $x = 10$:

Шаг 5: Сравним значения функции

Теперь мы сравним значения функции в критической точке и на концах интервала.

• При $x \approx 2.92$, подставляем в функцию:

• При $x = 1$, $y(1) = 26$

• При $x = 10$, $y(10) = 102.5$

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $[1; 10]$ достигается в точке $x \approx 2.92$, и оно равно примерно 17.09.

Ответ: наименьшее значение функции на промежутке $[1; 10]$ равно примерно 17.09.