Как найти координаты точки пересечения графиков функций с осями координат без построения?

Коротко: точки пересечения графика с осями находятся из «подстановок нулей».
С осью $Ox$ — решаем уравнение на нули функции, с осью $Oy$ — подставляем $x=0$ (если точка входит в область определения).

1) Явная функция $y=f(x)$

• Пересечение с $Ox$: решаем $f(x)=0$. Все решения $x_i$ дают точки $(x_i,\,0)$.
  Обязательно проверяйте, что эти $x_i$ входят в область определения (например, не обращают в ноль знаменатель).

• Пересечение с $Oy$: подставляем $x=0$. Если $0$ допустим, получаем точку $(0,\,f(0))$. Если $0$ не входит в область определения, пересечения с $Oy$ нет.

Замечания:
• Если корень кратности >1, график касается оси $Ox$ (тангенциальное касание).
• Для кусочной функции сначала проверьте, к какому куску относится $x=0$, и решайте $f(x)=0$ в каждом соответствующем промежутке, соблюдая условия.

2) Неявная зависимость $F(x,y)=0$

• С $Ox$: подставляем $y=0$ → решаем $F(x,0)=0$.

• С $Oy$: подставляем $x=0$ → решаем $F(0,y)=0$.

3) Параметрическая запись $x=x(t),\; y=y(t)$

• С $Ox$: решаем $y(t)=0$ → берём соответствующие $x(t)$; точки $(x(t),0)$.

• С $Oy$: решаем $x(t)=0$ → берём $y(t)$; точки $(0,y(t))$.

Примеры

A. Линейная $y=2x-6$.

• $Ox$: $2x-6=0 \Rightarrow x=3$ → $(3,0)$.

• $Oy$: $x=0\Rightarrow y=-6$ → $(0,-6)$.

B. Рациональная $y=\dfrac{x-1}{x+2}$.

• Область определения: $x\neq -2$.

• $Ox$: $\dfrac{x-1}{x+2}=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$ → $(1,0)$.

• $Oy$: $x=0 \Rightarrow y=\dfrac{-1}{2}=-0{,}5$ → $(0,-0{,}5)$.

C. Кусочная

• $Oy$: $x=0$ попадает в первый кусок → $y=0^2-4=-4$ → $(0,-4)$.

• $Ox$:
  • Для $x\le 0$: $x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm2$, но берём только $x=-2$ (условие куска) → $(-2,0)$.
  • Для $x>0$: $\sqrt{x+1}-1=0 \Rightarrow \sqrt{x+1}=1 \Rightarrow x=0$