Как найти длины отрезков гипотенузы, на которые её делит высота, проведённая из вершины прямого угла?

Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = c$. Из вершины $C$ опущена высота $CH$ на гипотенузу, она делит её на отрезки $AH = p$ и $HB = q$ (так что $p+q=c$). Обозначим катеты: $AC = b$ и $BC = a$.

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle BCH$ получаются «теоремы о проекциях»:

Отсюда сразу:

(а заодно проверка $p+q=\frac{a^2+b^2}{c}=\frac{c^2}{c}=c$ по теореме Пифагора).

Полезные сопутствующие формулы:

Пример. Если $a=6$, $b=8$, то $c=10$. Тогда

и действительно $6{,}4+3{,}6=10$.