В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SD=5, BD=6. Найдите длину отрезка SO.

Для нахождения длины отрезка $SO$ в правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$, где $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SD = 5$, $BD = 6$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Сначала определим геометрические свойства пирамиды.

   В правильной четырёхугольной пирамиде основание $ABCD$ — квадрат. Точка $O$ — это центр квадрата. Так как пирамида правильная, то высота из вершины $S$ будет перпендикулярна основанию и будет проходить через точку $O$.

2. Определим длину стороны квадрата.

   $BD$ — диагональ квадрата. Мы знаем, что длина диагонали квадрата $BD = 6$. Для квадрата диагональ и сторона связаны формулой:

   $$BD = a\sqrt{2}$$

   где $a$ — длина стороны квадрата. Подставляем значение диагонали:

   $$6 = a\sqrt{2}$$

   Отсюда находим $a$:

   $$a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$

   Таким образом, длина стороны квадрата $a = 3\sqrt{2}$.

3. Находим расстояние от вершины пирамиды до центра основания.

   Поскольку точка $O$ — центр квадрата, она будет находиться на одинаковом расстоянии от всех вершин квадрата. Теперь, чтобы найти длину отрезка $SO$, используем теорему Пифагора для треугольника $SBD$, где $S$ — вершина пирамиды, $B$ и $D$ — вершины квадрата, и $O$ — центр квадрата.

   В треугольнике $SBD$ известно:

   • $SD = 5$ — длина ребра пирамиды.

   • $BD = 6$ — диагональ квадрата.

   Нам нужно найти длину отрезка $SO$, который является высотой пирамиды, проходящей через центр квадрата.

   Поскольку $O$ — это центр квадрата, то расстояние от $B$ до $O$ равно половине диагонали квадрата:

   $$BO = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

4. Применим теорему Пифагора для треугольника $SBO$:

   В треугольнике $SBO$ гипотенуза $SD = 5$, а один из катетов $BO = 3$. Используем теорему Пифагора:

   $$SO^2 + BO^2 = SD^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$SO^2 + 3^2 = 5^2$$ $$SO^2 + 9 = 25$$ $$SO^2 = 25 - 9 = 16$$ $$SO = \sqrt{16} = 4$$

Таким образом, длина отрезка $SO$ равна 4.