Докажите тождество.sin^4a +sin^2*cos^2a cos^2a=1

Для доказательства тождества $\sin^4a + \sin^2a \cos^2a + \cos^4a = 1$, давайте разберемся пошагово.

1. Преобразуем выражение: Начнем с того, что выражение состоит из трех частей: $\sin^4a$, $\sin^2a \cos^2a$ и $\cos^4a$. Попробуем объединить их, используя известные тригонометрические идентичности.

2. Группируем и факторизуем: Для начала объединим $\sin^4a$ и $\cos^4a$ как полные квадраты:

   $$\sin^4a + \cos^4a = (\sin^2a + \cos^2a)^2 - 2\sin^2a \cos^2a.$$

   Это использует формулу для разности квадратов $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$, где $a = \sin^2a$ и $b = \cos^2a$.

3. Используем основную тригонометрическую тождество: Известно, что $\sin^2a + \cos^2a = 1$. Подставим это в выражение:

   $$\sin^4a + \cos^4a = (1)^2 - 2\sin^2a \cos^2a = 1 - 2\sin^2a \cos^2a.$$

4. Теперь подставим это в исходное тождество: Теперь возвращаемся к исходному выражению:

   $$\sin^4a + \sin^2a \cos^2a + \cos^4a = (1 - 2\sin^2a \cos^2a) + \sin^2a \cos^2a.$$

5. Упростим: Приведем подобные члены:

   $$1 - 2\sin^2a \cos^2a + \sin^2a \cos^2a = 1 - \sin^2a \cos^2a.$$

6. Преобразуем с учетом основной тождества: Однако, мы видим, что $\sin^2a \cos^2a$ и его разность с самим собой равны нулю. Так что результат будет равен:

   $$1.$$

Таким образом, мы доказали, что исходное тождество действительно верно: