Решите уравнение cos2x = cosx - 1. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0;2π]. Правильный ответ 4π.

Для того чтобы решить уравнение $\cos(2x) = \cos(x) - 1$, начнем с того, что выразим $\cos(2x)$ через $\cos(x)$, используя формулу удвоенного угла:

Подставим это в исходное уравнение:

Теперь перенесем все выражения на одну сторону уравнения:

Это квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Вынесем $\cos(x)$ за скобки:

Теперь решим это уравнение по частям.

1. $\cos(x) = 0$.

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$, так как косинус равен нулю в этих точках на интервале $[0; 2\pi]$.

2. $2\cos(x) - 1 = 0$, что эквивалентно $\cos(x) = \frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3}$, то есть $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{5\pi}{3}$, так как косинус равен $\frac{1}{2}$ в этих точках на интервале $[0; 2\pi]$.

Таким образом, все решения уравнения $\cos(2x) = \cos(x) - 1$ на интервале $[0; 2\pi]$ — это $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

Теперь найдем сумму этих корней:

Ответ: сумма корней равна $4\pi$.