Найдите радиус основания и высоту цилиндра, имеющего объем 27π см³, у которого площадь полной поверхности наименьшая.

Для того чтобы найти радиус основания и высоту цилиндра, имеющего объем 27π см³ и наименьшую площадь полной поверхности, нужно решить задачу оптимизации. Для этого будем использовать основные формулы для объема и площади полной поверхности цилиндра.

1. Формулы для объема и площади полной поверхности цилиндра:

• Объем цилиндра:
  $V = \pi r^2 h$
  где $r$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

• Площадь полной поверхности цилиндра:
  $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$
  где первая часть $2\pi r^2$ — это площадь двух оснований, а вторая часть $2\pi rh$ — площадь боковой поверхности.

2. Условие объема цилиндра:

Нам дан объем цилиндра $V = 27\pi$ см³, что дает уравнение:

Разделим обе части на $\pi$:

Отсюда можем выразить $h$ через $r$:

3. Подставим выражение для $h$ в формулу площади поверхности:

Теперь подставим $h = \frac{27}{r^2}$ в формулу площади полной поверхности:

Упростим выражение:

4. Минимизация площади:

Для минимизации площади $S$ по радиусу $r$ нужно взять производную площади по $r$ и приравнять её к нулю:

Приравняем производную к нулю:

Сократим на $\pi$:

Умножим обе части на $r^2$:

Разделим на 4:

Теперь извлечем кубический корень:

5. Находим высоту:

Теперь, зная радиус, можем найти высоту $h$ с помощью выражения $h = \frac{27}{r^2}$:

Ответ:
Радиус основания цилиндра примерно 2,41 см, высота цилиндра примерно 4,64 см.