На плоскости заданы векторы е1(-1;2) е2(2;1) и а(0;-2) убедиться что в=(е1;е2) -базис в множестве всех векторов на плоскости. Найти разложение вектора а по базису в

Чтобы убедиться, что векторы $\mathbf{e_1} = (-1, 2)$ и $\mathbf{e_2} = (2, 1)$ образуют базис в множестве всех векторов на плоскости, нам нужно проверить, являются ли они линейно независимыми. Векторы линейно независимы, если нельзя выразить один из них как линейную комбинацию другого.

Шаг 1: Проверка линейной независимости

Для проверки линейной независимости векторов $\mathbf{e_1}$ и $\mathbf{e_2}$ можно составить матрицу, состоящую из этих векторов, и найти её определитель:

Теперь найдем определитель матрицы $\mathbf{E}$:

Поскольку определитель не равен нулю ($\text{det}(\mathbf{E}) \neq 0$), векторы $\mathbf{e_1}$ и $\mathbf{e_2}$ являются линейно независимыми и образуют базис в плоскости.

Шаг 2: Разложение вектора $\mathbf{a} = (0, -2)$ по базису $(\mathbf{e_1}, \mathbf{e_2})$

Теперь найдем разложение вектора $\mathbf{a}$ по базису $\mathbf{e_1}$ и $\mathbf{e_2}$. Мы можем выразить вектор $\mathbf{a}$ как линейную комбинацию векторов базиса:

где $k_1$ и $k_2$ — это коэффициенты, которые мы хотим найти. Подставим значения векторов:

Это дает нам систему уравнений:

1. $-k_1 + 2k_2 = 0$ (уравнение по первой координате)
2. $2k_1 + k_2 = -2$ (уравнение по второй координате)

Шаг 3: Решение системы уравнений

Решим первую систему уравнений. Из первого уравнения выразим $k_1$:

Теперь подставим $k_1$ во второе уравнение:

Теперь найдем $k_1$:

Шаг 4: Запись разложения

Таким образом, разложение вектора $\mathbf{a}$ по базису $(\mathbf{e_1}, \mathbf{e_2})$ будет:

Вывод

Векторы $\mathbf{e_1}$ и $\mathbf{e_2}$ образуют базис в пространстве всех векторов на плоскости, и вектор $\mathbf{a}$ можно разложить по этому базису как: