Найти производную f(x)= 1/tgx

Ответы на вопрос

Отвечает Колтанюк Полина.

Найдём производную функции

f(x) = \frac{1}{\tg x}.

Сначала упростим выражение.

Знаем, что

\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}.

Тогда:

f(x) = \frac{1}{\tg x} = \frac{1}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\sin x}.

А это уже стандартная функция:

f(x) = \ctg x.

Из таблицы производных:

(\ctg x)' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}.

Следовательно,

f'(x) = (\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}.

Но можно также выразить ответ через $\tg x$ , если хочется оставить в терминах исходной функции.

Рассмотрим формально:

f(x)=\frac{1}{\tg x} = (\tg x)^{-1}.

Используем правило производной сложной функции:

\bigl(u(x)^{-1}\bigr)' = -\frac{u'(x)}{u(x)^2},

где $u(x) = \tg x$ .

Знаем, что

(\tg x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.

Тогда:

f'(x) = -\frac{(\tg x)'}{(\tg x)^2} = -\frac{\dfrac{1}{\cos^2 x}}{\tg^2 x} = -\frac{1}{\cos^2 x \cdot \tg^2 x}.

Подставим $\tg x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ :

\tg^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}.

Тогда:

\cos^2 x \cdot \tg^2 x = \cos^2 x \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin^2 x.

Получаем:

f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x},

что совпадает с производной $\ctg x$ .

Производная функции

f(x) = \frac{1}{\tg x}

равна

f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}.

Можно записать и так:

f'(x) = -\csc^2 x \quad \text{или} \quad f'(x) = -1 - \ctg^2 x,

Похожие вопросы

Ответы на вопрос