Числитель обыкновенной дроби на 2 меньше знаменателя. Если числитель увеличить на 1, а знаменатель увеличить на 3, то получится дробь, равная данной. Найдите данную дробь.

Обозначим числитель обыкновенной дроби за $x$, а знаменатель — за $x + 2$, так как числитель на 2 меньше знаменателя.

Тогда данная дробь будет выглядеть как $\frac{x}{x+2}$.

Теперь, если числитель увеличим на 1, а знаменатель на 3, новая дробь станет равной исходной. То есть, новая дробь будет $\frac{x+1}{x+2+3} = \frac{x+1}{x+5}$.

Условие задачи говорит, что новая дробь равна исходной, то есть:

Теперь решим это уравнение. Для этого нужно приравнять дроби, умножив обе стороны на $(x+2)(x+5)$ (чтобы избавиться от знаменателей):

Раскроем скобки с обеих сторон:

Теперь сократим $x^2$ с обеих сторон:

Отнимем $3x$ от обеих сторон:

Теперь разделим обе стороны на 2:

Таким образом, числитель дроби равен 1, а знаменатель — $x + 2 = 1 + 2 = 3$.

Итак, данная дробь — это $\frac{1}{3}$.