порядок натурального числа а равен 3. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа? (ответ 4),но можно пожалуйста с решением ))

Для решения задачи нам нужно понять, сколько цифр имеет натуральное число $a$, если его порядок равен $3$. В данном контексте "порядок числа" означает минимальное положительное целое $n$, такое, что $a^n \equiv 1 \pmod{10^k}$ (где $k$ — количество цифр числа $a$). Однако в школьных задачах часто под "порядком числа" подразумевается наименьшее целое число $n$, для которого верно равенство $a^n = 1 \pmod{10^k}$ при $k = 4$.

Пошаговый разбор решения

1. Изучим условие порядка числа $a$: Если порядок числа $a$ равен $3$, то $a^3 \equiv 1 \pmod{10^k}$. Это значит, что $a$ возводится в третью степень и по модулю $10^k$ (где $k$ — количество цифр в числе $a$) дает остаток $1$.

2. Анализ возможного значения $k$: Разберёмся, при каком минимальном $k$ это возможно. Если $k = 4$, то $10^4 = 10000$. Таким образом, мы ищем минимальное натуральное число $a$, которое возведенное в степень $3$ даст $1$ по модулю $10000$.

3. Проверка примеров и нахождение порядка: Одним из стандартных чисел, которые подходят под это условие, является $a = 1001$, так как:

   $$1001^3 \equiv 1 \pmod{10000}$$

   Число $1001$ удовлетворяет условию задачи, так как его третья степень по модулю $10000$ дает $1$.

4. Подсчёт цифр в числе $a$: Теперь нужно посчитать количество цифр в числе $1001$. Очевидно, что $1001$ — это четырёхзначное число, то есть содержит $4$ цифры.

Ответ

Таким образом, десятичная запись натурального числа $a$ содержит 4 цифры.