Разложить на множители: ab^3 - ba^3 162b^3 - 2a^2b

Для того чтобы разложить выражение $ab^3 - ba^3 + 162b^3 - 2a^2b$ на множители, давайте сначала упростим его, объединив похожие члены и рассмотрим возможности для группировки.

Исходное выражение:

1. Группировка:
   Мы видим, что первые два члена имеют общий множитель $b^3$ и $a^3$, а последние два члена можно объединить по общему множителю $b$. Попробуем сгруппировать:

2. Вынос общего множителя:
   Теперь давайте вынем общий множитель из каждой группы.

   • В первой группе $ab^3 - ba^3$ можно вынести общий множитель $ab$, так как в обоих слагаемых есть $a$ и $b$:

     $$ab(b^2 - a^2)$$

   • Во второй группе $162b^3 - 2a^2b$ можно вынести общий множитель $b$, так как в обоих слагаемых есть $b$:

     $$b(162b^2 - 2a^2)$$

Таким образом, мы получаем следующее выражение:

3. Дополнительная факторизация:
   Теперь давайте рассмотрим, можно ли упростить выражения в скобках.

   • В первой скобке $b^2 - a^2$ — это разность квадратов, которую можно разложить:

     $$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$$

   • Во второй скобке $162b^2 - 2a^2$ можно вынести общий множитель $2$:

     $$162b^2 - 2a^2 = 2(81b^2 - a^2)$$

     Далее, в скобках $81b^2 - a^2$ снова разность квадратов, которую можно разложить:

     $$81b^2 - a^2 = (9b - a)(9b + a)$$

4. Итоговое разложение:
   Подставив все эти выражения обратно, получаем разложение исходного выражения:

Это и будет разложение на множители данного выражения.