В треугольнике АВС проведены медианы АМ, ВN и СК. АК=2 см, ВМ=3 см, CN=4 см. Найти периметр треугольника АВС.

В данном задаче нужно найти периметр треугольника $ABC$, в котором проведены медианы $AM$, $BN$ и $CK$. Из условия задачи известно, что:

• $AK = 2$ см,

• $BM = 3$ см,

• $CN = 4$ см.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом. Центроид делит каждую медиану на два отрезка в отношении 2:1, где большая часть медианы лежит от вершины треугольника до центра масс (центроида), а меньшая — от центра масс до середины противоположной стороны.

Исходя из этого, можно найти длину каждой медианы:

1. Медиана $AM$:
   Мы знаем, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1. То есть $AM = 2 \times AM'$, где $AM'$ — это меньшая часть медианы, которая равна $BM = 3$ см. Таким образом, медиана $AM$ будет в два раза больше, чем $BM$:

   $$AM = 2 \times 3 = 6 \, \text{см}.$$

2. Медиана $BN$:
   Аналогично, медиана $BN$ будет в два раза больше, чем $CN = 4$ см:

   $$BN = 2 \times 4 = 8 \, \text{см}.$$

3. Медиана $CK$:
   И, наконец, медиана $CK$ будет в два раза больше, чем $AK = 2$ см:

   $$CK = 2 \times 2 = 4 \, \text{см}.$$

Теперь, зная длины медиан $AM = 6$ см, $BN = 8$ см и $CK = 4$ см, можно найти периметр треугольника $ABC$. Согласно теореме о медианах, периметр треугольника равен сумме длин его медиан, деленной на 2:

Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен 9 см.