Около квадрата со стороной \(5\sqrt{2}\) описана окружность. Найдите сторону шестиугольника, описанного около этой окружности.

Для решения задачи будем следовать пошагово.

1. Нахождение радиуса окружности, описанной около квадрата.

Пусть квадрат имеет сторону $a = 5\sqrt{2}$. Окружность, описанная вокруг квадрата, касается всех его вершин. Радиус этой окружности равен расстоянию от центра квадрата до его вершины.

Центр квадрата совпадает с его центром симметрии. Диагональ квадрата проходит через центр и соединяет две противоположные вершины квадрата. Радиус окружности равен половине длины диагонали квадрата.

Длина диагонали квадрата выражается через сторону квадрата по формуле:

Подставляем значение $a = 5\sqrt{2}$:

Радиус окружности $R$ равен половине диагонали:

2. Нахождение стороны шестиугольника, описанного около окружности.

Шестиугольник, описанный около окружности, имеет такую особенность: его стороны касаются окружности. Радиус окружности, вписанной в шестиугольник, равен расстоянию от центра шестиугольника до середины любой его стороны. В данном случае этот радиус равен радиусу окружности, которая описана вокруг квадрата, то есть $R = 5$.

Для правильного шестиугольника, радиус окружности, вписанной в него, равен длине стороны шестиугольника. То есть сторона шестиугольника будет равна радиусу окружности, который равен $5$.

Таким образом, сторона шестиугольника, описанного около окружности, равна $5$.