Решите уравнение, используя однородность: 4sin²x - sinx cosx - 3cos²x = 0

Решим уравнение с использованием метода однородности:

Уравнение:
$4 \sin^2 x - \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0.$

1. Сделаем замену переменных. Пусть $t = \tan x$, тогда:

   $$\sin x = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}.$$

   В этом случае, выражения для синуса и косинуса преобразуются таким образом, что можно заменить их через $t$. Однако, проще использовать другой способ, который не требует замены на тангенс.

2. Попробуем выразить уравнение через $\sin x$ и $\cos x$. Перепишем уравнение в следующем виде:

   $$4 \sin^2 x - \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0.$$

   Разделим его на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

   $$4 \left( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \right) - \left( \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \right) - 3 = 0.$$

   Это упростится до:

   $$4 \tan^2 x - \tan x - 3 = 0.$$

3. Получаем квадратное уравнение относительно $t = \tan x$:

   $$4 t^2 - t - 3 = 0.$$

   Решим это уравнение с помощью формулы для квадратных уравнений:

   $$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4}.$$

   Это даёт:

   $$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{1 \pm 7}{8}.$$

   Таким образом, у нас два корня:

   $$t = \frac{1 + 7}{8} = 1 \quad \text{или} \quad t = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{3}{4}.$$

4. Теперь решим для $\tan x$:

   • Если $t = 1$, то $\tan x = 1$, что даёт решение $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k$ — целое число.

   • Если $t = -\frac{3}{4}$, то $\tan x = -\frac{3}{4}$, что даёт решение $x = \arctan\left( -\frac{3}{4} \right) + k\pi$, где $k$ — целое число.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ или $x = \arctan\left( -\frac{3}{4} \right) + k\pi$, где $k$ — целое число.