Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник с n ≤ 81 вершинами?

Объяснение. В выпуклом многоугольнике внешние (поворотные) углы положительны и в сумме дают 360°. Если внутренний угол острый (<90°), то соответствующий внешний угол равен 180°−α и, значит, строго больше 90°. Пусть острых углов k. Тогда сумма внешних углов строго больше 90°·k, а поскольку она равна 360°, получаем 90k<360, то есть k≤3.

Достижимость: остроугольный треугольник имеет ровно три острых угла. Для любого n≥3 (в частности, для любого n≤81) можно взять остроугольный треугольник и на его сторонах добавить сколько угодно точек, получая выпуклый n-угольник, у которого три исходных угла остаются острыми, а новые — сколь угодно близки к 180° (то есть не острые).

Следовательно, наибольшее число острых углов — 3.