Что такое многочлены и одночлены?

Многочлены и одночлены — это алгебраические выражения из переменных и чисел, где переменные стоят в степенях, а степени — неотрицательные целые.

Одночлен — это произведение числового коэффициента и переменных в целых неотрицательных степенях.
Примеры: $7x$, $-\frac{3}{2}a^2b$, $5$, $x^3y^2$.
Не примеры: $\frac{1}{x}$ (это $x^{-1}$, степень отрицательная), $\sqrt{x}$ (это $x^{1/2}$, степень дробная), $\sin x$ (не степенная форма).

• Коэффициент — числовая часть (в $-\frac{3}{2}a^2b$ коэффициент $-\frac{3}{2}$).

• Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных (у $x^3y^2$ степень $3+2=5$; у числа $5$ — степень $0$).

• Подобные одночлены — имеют одинаковую буквенную часть (те же переменные в тех же степенях), их можно складывать: $3x^2y - 5x^2y = -2x^2y$.

Многочлен — это сумма (или разность) конечного числа одночленов.
Примеры: $2x^3 - 7x + 1$, $a^2b - 3ab^2 + 4$, $5$ (тоже многочлен: один член).

• Члены многочлена — входящие одночлены.

• Степень многочлена — наибольшая степень из его членов (после приведения подобных). Например, у $2x^3 - 7x + 1$ степень $3$.

• Стандартный (приведённый) вид — когда подобные члены сложены, а члены упорядочены по убыванию степеней: $x^2+3x-4$, а не $3x-4+x^2$.

• Коэффициенты многочлена — числа при соответствующих степенях переменной; свободный член — коэффициент при $x^0$ (число без $x$).

• Классификация по числу переменных: одномерные (по одной переменной) — $P(x)$; много переменных — $P(x,y,\dots)$.

• Классификация по степени (для одной переменной):
  линейный ($\deg=1$) — $ax+b$; квадратичный ($\deg=2$) — $ax^2+bx+c$; кубический ($\deg=3$) — $ax^3+bx^2+cx+d$; и т.д.

• Однородный многочлен — все его члены одной и той же степени (например, $x^2+3xy+y^2$ — нет, степени 2,2,2? да, это однородный; $x^2+2x+1$ — неоднородный).

Основные операции

• Сложение/вычитание: приводим подобные члены.
  Пример: $(3x^2-2x+5)+(x^2+7x-1)=4x^2+5x+4$.

• Умножение: перемножаем члены «в столбик», складываем показатели степеней, приводим подобные.
  Пример: $(x+2)(x-3)=x^2-x-6$.

• Деление: по схеме столбиком (для одной переменной) или через разложение.

• Подстановка: значение многочлена при $x=a$ — просто подставить $a$ и посчитать.

Коротко: одночлен — один «кубик» вида $c\cdot x_1^{\alpha_1}\dots x_n^{\alpha_n}$ с целыми $\alpha_i\ge 0$; многочлен — сумма таких «кубиков». Их степень — соответственно сумма показателей (для одночлена) и максимум степеней членов (для многочлена).