Найди значение параметра k, при которых прямая y = kx имеет только одну общую точку с графиком функции y = (x - 2)/(x² - 2x).

Для того чтобы найти значение параметра $k$, при котором прямая $y = kx$ имеет только одну общую точку с графиком функции $y = \frac{x - 2}{x^2 - 2x}$, нужно решить систему уравнений, которая выражает пересечение этих двух графиков. То есть мы ищем такие значения $k$, при которых система уравнений:

и

имеет только одно решение. Для этого приравняем правые части этих уравнений:

Умножим обе стороны на $x^2 - 2x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$, так как эти значения делают знаменатель равным нулю):

Упростим это выражение:

Переносим все на одну сторону:

Это кубическое уравнение относительно $x$, которое нужно решить для значения $k$, при котором оно имеет только одно решение. Так как мы ищем значение $k$, при котором уравнение имеет только одну общую точку, это означает, что уравнение должно иметь только один корень. Это может происходить, если у уравнения есть кратный корень, то есть один корень с кратностью 3.

Чтобы найти такие значения $k$, нужно провести анализ этого кубического уравнения. Упростим его для поиска условий на $k$, при которых у уравнения будет один корень.

Рассмотрим производную этого уравнения, чтобы найти возможные кратные корни. Производная уравнения:

Эта производная должна иметь один корень для того, чтобы исходное кубическое уравнение имело кратный корень. Рассмотрим дискриминант уравнения $3kx^2 - 4kx - 1 = 0$:

Для того чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

Решим это уравнение для $k$:

Отсюда $k = 0$ или $k = -\frac{3}{4}$.

Таким образом, при $k = 0$ и $k = -\frac{3}{4}$ прямая $y = kx$ имеет только одну общую точку с графиком функции $y = \frac{x - 2}{x^2 - 2x}$.