При каком значении p прямая y = x + p имеет с параболой y = x² - 3x ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Чтобы найти значение $p$, при котором прямая $y = x + p$ и парабола $y = x^2 - 3x$ имеют ровно одну общую точку, необходимо приравнять их уравнения и решить полученное уравнение.

1. Приравняем уравнения прямой и параболы:

   $$x + p = x^2 - 3x$$

2. Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 - 3x - x - p = 0$$

   Упростим:

   $$x^2 - 4x - p = 0$$

3. Это квадратное уравнение. Чтобы прямая и парабола пересекались в одной точке, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю, так как при дискриминанте больше нуля будет два корня, а при дискриминанте меньше нуля корней не будет.

   Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Для уравнения $x^2 - 4x - p = 0$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = -p$, дискриминант будет:

   $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p) = 16 + 4p$$

4. Чтобы у уравнения был ровно один корень, нужно, чтобы дискриминант был равен нулю:

   $$16 + 4p = 0$$

   Решаем это уравнение:

   $$4p = -16$$ $$p = -4$$

5. Теперь, когда мы знаем, что $p = -4$, подставим это значение в уравнение прямой и параболы, чтобы найти координаты общей точки.

   Подставим $p = -4$ в уравнение прямой:

   $$y = x - 4$$

   Подставим $p = -4$ в уравнение параболы:

   $$y = x^2 - 3x$$

   Приравниваем уравнения:

   $$x - 4 = x^2 - 3x$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 - 3x - x + 4 = 0$$

   Упростим:

   $$x^2 - 4x + 4 = 0$$

   Это уравнение можно упростить как:

   $$(x - 2)^2 = 0$$

   Таким образом, $x = 2$.

6. Подставим $x = 2$ в уравнение прямой, чтобы найти $y$:

   $$y = 2 - 4 = -2$$

Таким образом, координаты точки пересечения прямой и параболы при $p = -4$ равны $(2, -2)$.