Решите уравнение log5 (5+4x)=log5 (1+4x)+1

Для решения уравнения $\log_5(5 + 4x) = \log_5(1 + 4x) + 1$, давайте разберемся поэтапно:

1. Переносим все логарифмические выражения на одну сторону:

   $$\log_5(5 + 4x) - \log_5(1 + 4x) = 1$$

2. Используем свойство логарифмов:
   Разность логарифмов можно преобразовать в логарифм от отношения:

   $$\log_5\left( \frac{5 + 4x}{1 + 4x} \right) = 1$$

3. Применяем определение логарифма:
   Логарифм по основанию 5 равен 1, если аргумент выражения равен 5:

   $$\frac{5 + 4x}{1 + 4x} = 5$$

4. Решаем полученное рациональное уравнение:
   Умножим обе части на $1 + 4x$, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$5 + 4x = 5(1 + 4x)$$

   Раскрываем скобки:

   $$5 + 4x = 5 + 20x$$

5. Упрощаем уравнение:
   Переносим все элементы, содержащие $x$, на одну сторону:

   $$4x - 20x = 5 - 5$$

   Получаем:

   $$-16x = 0$$

6. Решаем относительно $x$:

   $$x = 0$$

7. Проверка:
   Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:

   $$\log_5(5 + 4(0)) = \log_5(1 + 4(0)) + 1$$ $$\log_5(5) = \log_5(1) + 1$$ $$1 = 0 + 1$$

   Уравнение верно.

Таким образом, решение уравнения: $x = 0$.