Решить уравнение log₅(x+3) = 2 - log₅(2x+1)

Для того чтобы решить уравнение $\log_5(x + 3) = 2 - \log_5(2x + 1)$, давайте пошагово преобразуем его.

1. Переносим логарифм на одну сторону. Уравнение можно переписать, добавив $\log_5(2x + 1)$ обеим сторонам:

   $$\log_5(x + 3) + \log_5(2x + 1) = 2.$$

2. Используем свойство логарифмов. Сложение логарифмов с одинаковым основанием можно преобразовать в логарифм произведения:

   $$\log_5((x + 3)(2x + 1)) = 2.$$

3. Преобразуем логарифм в экспоненциальную форму. Логарифм при основании 5 равен 2, если аргумент равен $5^2 = 25$. Получаем:

   $$(x + 3)(2x + 1) = 25.$$

4. Раскроем скобки. Умножаем выражения на левой стороне:

   $$(x + 3)(2x + 1) = 2x^2 + x + 6x + 3 = 2x^2 + 7x + 3.$$

   Получаем уравнение:

   $$2x^2 + 7x + 3 = 25.$$

5. Приводим уравнение к стандартному виду. Вычитаем 25 из обеих сторон:

   $$2x^2 + 7x + 3 - 25 = 0,$$ $$2x^2 + 7x - 22 = 0.$$

6. Решаем квадратное уравнение. Для решения используем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225.$$

   Корни уравнения можно найти по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

   Подставляем значения $a = 2$, $b = 7$ и $D = 225$:

   $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{-7 \pm 15}{4}.$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x = \frac{-7 + 15}{4} = \frac{8}{4} = 2,$$ $$x = \frac{-7 - 15}{4} = \frac{-22}{4} = -5,5.$$

7. Проверяем решения. Для того чтобы оба значения $x$ были допустимыми решениями, они должны удовлетворять исходному уравнению и делать логарифмы определенными. Рассмотрим оба корня:

   • Для $x = 2$:

     $$\log_5(2 + 3) = \log_5(5) = 1, \quad \log_5(2 \cdot 2 + 1) = \log_5(5) = 1.$$

     Уравнение выполнено: $1 = 2 - 1$.

   • Для $x = -5,5$:

     $$\log_5(-5,5 + 3) = \log_5(-2,5), \quad \log_5(2 \cdot (-5,5) + 1) = \log_5(-10).$$

     Логарифмы с отрицательными аргументами не определены, поэтому $x = -5,5$ — это недопустимое решение.

Итак, единственным допустимым решением уравнения является $x = 2$.