Решите уравнение \( 3x^4 - 2x^3 - 3x + 2 = 0 \).

Для того чтобы решить уравнение $3x^4 - 2x^3 - 3x + 2 = 0$, начнем с поиска возможных корней уравнения. Мы будем пробовать различные методы, начиная с проверки рациональных корней и попытки разложить уравнение на множители.

1. Проверим возможные рациональные корни.

Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни уравнения $3x^4 - 2x^3 - 3x + 2 = 0$ — это делители свободного члена (в данном случае 2) разделённые на делители ведущего коэффициента (в данном случае 3).

Свободный член: 2. Его делители: $\pm 1, \pm 2$.
Ведущий коэффициент: 3. Его делители: $\pm 1, \pm 3$.

Таким образом, возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}$.

2. Проверим $x = 1$.

Подставляем $x = 1$ в уравнение:

Получили 0, значит, $x = 1$ — корень уравнения.

3. Разделим на $x - 1$.

Теперь, зная, что $x = 1$ — корень, можем разделить исходное уравнение на $x - 1$ с помощью деления многочлена.

Используем деление многочлена:

Процесс деления приводит нас к следующему результату:

4. Решим кубическое уравнение $3x^3 + x^2 - x - 2 = 0$.

Теперь, решаем уравнение $3x^3 + x^2 - x - 2 = 0$. Попробуем найти его корни методом подбора.

Проверим $x = -1$:

Не подходит. Теперь проверим $x = -2$:

Попробуем $x = \frac{1}{3}$. Подставим это значение в уравнение: