Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

Обозначу $a=p-q$ (замечу, что $a>0$, иначе $p+q=(p-q)^3<0$, что невозможно для простых $p,q$). Тогда

Перепишем $q$:

Чтобы $q$ было простым, произведение трёх последовательных целых, делённое на $2$, должно дать простое число.

• При $a=1$: $q=0$ — не подходит.

• При $a=2$: $q=\dfrac{2\cdot1\cdot3}{2}=3$ — простое, а $p=\dfrac{8+2}{2}=5$ — тоже простое. Это даёт пару $(p,q)=(5,3)$.

• При $a\ge 3$: множители $(a-1),a,(a+1)$ равны как минимум $2,3,4$ при $a=3$, а дальше только растут. Деление на $2$ убирает лишь чётность одного из них, но в результате остаётся произведение по крайней мере двух чисел $>1$, то есть число составное. Значит, $q$ уже не простое.

Итак, единственное решение в простых числах: