При каких значениях ? система уравнений { 4?−??=7, 12? + 18? = 21 имеет бесконечно много решений?

Рассмотрим систему

У системы бесконечно много решений тогда и только тогда, когда оба уравнения пропорциональны (то есть описывают одну и ту же прямую). Это означает пропорциональность всех коэффициентов, включая свободные члены:

Из $\frac{12}{4}=3$ и $\frac{21}{7}=3$ получаем общий коэффициент пропорциональности $k=3$. Тогда должно выполняться

Проверка: при $a=-6$ первое уравнение $4x-(-6)y=7$ т.е. $4x+6y=7$, второе уравнение $12x+18y=21$ делится на 3 и даёт то же самое $4x+6y=7$. Значит, уравнения совпадают, и решений бесконечно много.

Ответ: $a=-6$. (Тогда множество решений — все пары $(x,y)$, удовлетворяющие $4x+6y=7$, например $y=t,\; x=\frac{7-6t}{4}$).