Чему равен радиус окружности, если сторона квадрата равна 10 см?

Если речь о квадрате со стороной 10 см, радиус «той самой» окружности зависит от того, вписана она в квадрат или описана вокруг него.

• Вписанная окружность (касается всех четырёх сторон изнутри): её диаметр равен стороне квадрата, значит
  $r_{\text{впис}}=\dfrac{a}{2}=\dfrac{10}{2}=5$ см.

• Описанная окружность (проходит через все четыре вершины): её диаметр равен диагонали квадрата, то есть $a\sqrt{2}$. Тогда
  $r_{\text{опис}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07$ см.

Итого: радиус вписанной окружности — 5 см, радиус описанной — $5\sqrt{2}$ см (≈ 7,07 см).