Как найти высоту трапеции, если известны её боковые стороны?

Короткий ответ: знать только длины боковых сторон недостаточно. С такими же боковыми сторонами можно построить бесконечно много трапеций разной высоты — нужна ещё хотя бы одна величина (например, основания, их разность, угол при основании, площадь и т. п.).

Что достаточно и как тогда найти $h$:

1. Известны обе боковые стороны $c,d$ и оба основания $B>b$
   Обозначим $\Delta=B-b$. Опустим перпендикуляры: получатся два прямоугольных треугольника с горизонтальными катетами $x$ и $\Delta-x$.
   Тогда

Частный случай — равнобокая трапеция ($c=d$):

2. Известны боковые стороны и разность оснований $\Delta=B-b$
   Те же формулы из п.1 работают без знания каждого основания по отдельности:

А если $c=d$, то снова $h=\sqrt{c^{2}-(\Delta/2)^{2}}$.

3. Известна хотя бы одна боковая сторона и угол при основании
   Если $\alpha$ — угол между боковой стороной $c$ и основанием, то

(Аналогично для стороны $d$ и её угла.)

4. Известна площадь $S$ и оба основания
   Сначала по формуле площади трапеции:

(Здесь боковые стороны уже не нужны.)

5. Прямоугольная трапеция (одна боковая сторона перпендикулярна основаниям)
   Тогда высота просто равна этой перпендикулярной боковой стороне:

Итог: чтобы найти высоту по боковым сторонам, добавьте минимум один параметр (например, разность оснований или угол при основании) и используйте одну из формул выше. Без дополнительной информации задача не имеет единственного решения.