Стая гусей, летевшая в Лапландию, остановилась на ночлег на льдине. Нильс, который летел на спине у гуся Мартина, обратил внимание, что все гуси расположились квадратом и рядов в этом квадрате столько же, сколько гусей в каждом ряду. Утром, когда стая поднялась в небо, Нильс заметил, что гуси выстроились треугольником. Впереди вожак, за ним 2 гуся, в третьем ряду 3 гуся и так далее. Теперь число гусей в последнем ряду равнялось количеству рядов в треугольнике. Известно, что в стае меньше 50 гусей. Сколько гусей летело в последнем ряду треугольника?

Из условия задачи можно понять, что стая гусей изначально выстроилась в квадрат, а затем в треугольник. Давайте рассмотрим это более подробно.

1. Гуси в квадрате.
   В квадрате количество гусей в каждом ряду равно числу рядов. То есть стая гусей составила квадратную матрицу с одинаковым количеством гусей в каждом ряду. Пусть $n$ — количество гусей в одном ряду, тогда общее количество гусей в стае $n^2$.

2. Гуси в треугольнике.
   Утром гуси выстроились в треугольник, при этом количество гусей в каждом ряду увеличивалось на единицу. Таким образом, в первом ряду был один гусь, во втором — два, в третьем — три и так далее. Количество гусей в последнем ряду равно числу рядов, то есть $k$, где $k$ — количество рядов в треугольнике.

   Общее количество гусей в треугольнике — это сумма первых $k$ чисел:

   $$S_k = 1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k + 1)}{2}$$

   Это общее количество гусей в стае, которое также равно $n^2$, так как количество гусей не изменилось.

3. Условие задачи:
   Известно, что в стае меньше 50 гусей. То есть $n^2$ меньше 50, а значит, $n$ может быть не больше 7 (так как $7^2 = 49$, а $8^2 = 64$, что больше 50).

4. Найдем значение $n$.
   Подставим $n^2 = \frac{k(k + 1)}{2}$ и проверим для разных значений $k$, чтобы найти подходящее.

   • Для $k = 9$ сумма первых 9 чисел:

     $$\frac{9(9 + 1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = 45$$

     Таким образом, стая состоит из 45 гусей, и это подходит, так как 45 меньше 50.

5. Ответ: В последнем ряду треугольника было 9 гусей.