Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y=3x²+2x+2 и прямой y=−x+8.

Найдём точки пересечения: приравниваем

Отсюда $(x+2)(x-1)=0$, значит $x=-2$ и $x=1$. На отрезке $[-2,\,1]$ проверим, что выше: прямая или парабола. Разность

— это ветви вниз с нулями в $-2$ и $1$, значит между ними разность положительна, то есть прямая выше параболы.

Площадь искомой фигуры — это определённый интеграл

Первообразная:

Подставляем пределы:

Ответ: $\displaystyle S=\frac{27}{2}$.