Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у=х²-6х+8 и осью Ох.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 6x + 8$ и осью $Ox$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Приведем уравнение параболы к более удобному виду. Для этого можно завершить квадрат в уравнении:

   $$y = x^2 - 6x + 8$$

   Завершаем квадрат:

   $$y = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 8 = (x - 3)^2 - 1$$

   Таким образом, уравнение параболы примет вид:

   $$y = (x - 3)^2 - 1$$

2. Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$. Чтобы найти такие точки, приравняем $y = 0$:

   $$0 = (x - 3)^2 - 1$$

   Решим это уравнение:

   $$(x - 3)^2 = 1$$ $$x - 3 = \pm 1$$

   Таким образом, $x = 3 + 1 = 4$ и $x = 3 - 1 = 2$. То есть, парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = 2$ и $x = 4$.

3. Найдем площадь фигуры, заключенной между параболой и осью $Ox$. Площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла:

   $$A = \int_2^4 y \, dx = \int_2^4 (x^2 - 6x + 8) \, dx$$

   Рассчитаем интеграл по частям:

   $$A = \int_2^4 x^2 \, dx - \int_2^4 6x \, dx + \int_2^4 8 \, dx$$

   Вычислим каждый из интегралов:

   • $\int_2^4 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{8}{3} = \frac{56}{3}$

   • $\int_2^4 6x \, dx = \left[ 3x^2 \right]_2^4 = 3(4^2) - 3(2^2) = 3(16) - 3(4) = 48 - 12 = 36$

   • $\int_2^4 8 \, dx = \left[ 8x \right]_2^4 = 8(4) - 8(2) = 32 - 16 = 16$

   Теперь складываем все части:

   $$A = \frac{56}{3} - 36 + 16 = \frac{56}{3} - \frac{108}{3} + \frac{48}{3} = \frac{56 - 108 + 48}{3} = \frac{-4}{3}$$

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой и осью $Ox$, равна $\frac{4}{3}$