3 tg x квадрат+2tg x-1=0

Решим уравнение $3 \cdot \tan^2(x) + 2 \cdot \tan(x) - 1 = 0$.

Для удобства введём замену: пусть $t = \tan(x)$. Тогда уравнение примет вид:

Это квадратное уравнение относительно $t$. Чтобы решить его, воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

В нашем случае $a = 3$, $b = 2$, $c = -1$. Подставляем эти значения в формулу:

Теперь решим для двух случаев:

1. $t = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. $t = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Итак, мы получили два возможных значения для $t$: $t = \frac{1}{3}$ и $t = -1$.

Теперь вернёмся к переменной $x$. Так как $t = \tan(x)$, то для каждого из значений $t$ найдём соответствующие значения $x$.

1. Когда $\tan(x) = \frac{1}{3}$, $x = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$. Это значение угла можно выразить как $x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right)$, а также учесть, что тангенс имеет период $\pi$, то есть решения будут:

2. Когда $\tan(x) = -1$, $x = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Также учтём периодичность тангенса, и решения будут:

Таким образом, общие решения уравнения $3 \cdot \tan^2(x) + 2 \cdot \tan(x) - 1 = 0$ будут:

и