Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник с основанием 12 см. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объём конуса.

Осевое сечение — это равнобедренный треугольник, у которого основание равно диаметру основания конуса. Значит, диаметр $d=12$ см, радиус $r=\frac{d}{2}=6$ см.

Образующая $l$ наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. В осевом сечении получаем прямоугольный треугольник с катетами $r$ и $h$ (высота конуса) и гипотенузой $l$. Угол между $l$ и плоскостью основания равен углу между $l$ и её проекцией на основание, то есть между $l$ и $r$. Тогда

Объём конуса:

Ответ: $72\pi\ \text{см}^3$.