Решите неравенство x^2-2x-3<0

Чтобы решить неравенство $x^2 - 2x - 3 > 0$, следуем следующей последовательности шагов:

1. Разложим выражение на множители

Для начала необходимо разложить квадратное выражение $x^2 - 2x - 3$ на множители. Мы ищем два числа, произведение которых равно $-3$, а сумма равна $-2$.

Такими числами будут $-3$ и $1$, потому что:

Таким образом, мы можем разложить выражение $x^2 - 2x - 3$ на множители:

Теперь неравенство принимает вид:

2. Найдем нули выражения

Нули выражения находятся, когда каждый из множителей равен нулю:

Решения этих уравнений:

Таким образом, мы имеем два корня: $x = -1$ и $x = 3$. Эти значения делят числовую прямую на три интервала:

1. $(-\infty, -1)$

2. $(-1, 3)$

3. $(3, \infty)$

3. Определим знак произведения на каждом интервале

Теперь рассмотрим знак выражения $(x - 3)(x + 1)$ на каждом из этих интервалов.

• Для интервала $(-\infty, -1)$, выберем точку, например $x = -2$:

  $$(x - 3)(x + 1) = (-2 - 3)(-2 + 1) = (-5)(-1) = 5 > 0$$

  Значит, на интервале $(-\infty, -1)$ произведение положительное.

• Для интервала $(-1, 3)$, выберем точку, например $x = 0$:

  $$(x - 3)(x + 1) = (0 - 3)(0 + 1) = (-3)(1) = -3 < 0$$

  Значит, на интервале $(-1, 3)$ произведение отрицательное.

• Для интервала $(3, \infty)$, выберем точку, например $x = 4$:

  $$(x - 3)(x + 1) = (4 - 3)(4 + 1) = (1)(5) = 5 > 0$$

  Значит, на интервале $(3, \infty)$ произведение положительное.

4. Построим решение

Мы ищем такие значения $x$, при которых произведение $(x - 3)(x + 1)$ больше нуля. Это выполняется на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(3, \infty)$, но не включаем сами точки $x = -1$ и $x = 3$, так как в этих точках произведение равно нулю.

Ответ: Решение неравенства $x^2 - 2x - 3 > 0$ — это интервалы $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.