Как определить, где парабола, гипербола и прямая?

Если у тебя есть уравнение второго порядка
$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$, то тип кривой (парабола, гипербола, прямая) определяется главной квадратичной частью $Ax^2+Bxy+Cy^2$ и тем, «вырождается» ли кривая.

1) Быстрая проверка по дискриминанту квадратичной части

Считаем $\Delta=B^2-4AC$.

• $\Delta=0$ → это парабола (возможно вырожденная: пара параллельных прямых или одна прямая — см. п.2).

• $\Delta>0$ → это гипербола (или вырожденная: пара пересекающихся прямых — см. п.2).

• $\Delta<0$ → эллипс/окружность/пусто/точка (нам не нужно, если спрашивают только про параболу/гиперболу/прямую).

Отдельный частный случай: если $A=C=0$ и $B=0$, уравнение линейное $Dx+Ey+F=0$ — это уже прямая без всяких дополнительных проверок.

2) Вырождение: отличаем «настоящую» кривую от прямых

Чтобы понять, настоящая ли это кривая или она распалась в прямые/точку/пусто, смотри детерминант

• Если $\Delta_0\neq 0$ — кривая невырожденная. Тогда по знаку $\Delta$ из п.1:
  $\Delta=0$ — парабола, $\Delta>0$ — гипербола.

• Если $\Delta_0=0$ — кривая вырожденная. Тогда:

  • При $\Delta>0$ — пара пересекающихся прямых.

  • При $\Delta=0$ — пара параллельных прямых или одна прямая (совпадение).

  • При $\Delta<0$ — точка или пустое множество.

Итого: прямая появляется либо сразу (все квадратичные коэффициенты ноль), либо как вырожденный случай при $\Delta_0=0$ и $\Delta=0$.

3) Как это выглядит на примерах

• $y^2-4x=0$: $A=0,B=0,C=1\Rightarrow \Delta=0$. $\Delta_0\neq0$ → парабола.

• $9x^2-4y^2-36=0$: $A=9,B=0,C=-4\Rightarrow \Delta=0-4\cdot9\cdot(-4)=144>0$ и $\Delta_0\neq0$ → гипербола.

• $2x+3y-5=0$: $A=B=C=0$ → прямая.

• $x^2-y^2=0$: $\Delta=4>0$, а $\Delta_0=0$ → вырожденная гипербола: две прямые $y=\pm x$.

• $x^2+2xy+y^2=0$: $\Delta=B^2-4AC=4-4=0$ и $\Delta_0=0$ → две совпадающие параллельные прямые (фактически одна прямая