В треугольнике АВС АС=ВС=2√3, угол С=120°. Найти высоту АН.

Для нахождения высоты $АН$ в треугольнике $ABC$, где $AC = BC = 2\sqrt{3}$, а угол $C = 120^\circ$, можно использовать несколько методов. Рассмотрим решение пошагово.

1. Используем формулу площади через две стороны и угол между ними:

   Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через стороны $AC$ и $BC$, а также угол $C$. Формула площади треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)$$

   где $a = AC = 2\sqrt{3}$, $b = BC = 2\sqrt{3}$, а угол $C = 120^\circ$. Заменим в формуле значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(120^\circ)$$

   Зная, что $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

   Площадь треугольника равна $3\sqrt{3}$.

2. Найдем высоту треугольника:

   Площадь также можно выразить через основание $AC$ и высоту $h = AN$. Площадь треугольника можно записать как:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AN$$

   Подставим известные значения:

   $$3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot AN$$

   Упростим уравнение:

   $$3\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot AN$$

   Разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

   $$3 = AN$$

   Таким образом, высота $AN$ равна 3.

Ответ: высота $AN = 3$.