В треугольнике BMC стороны BM и MC равны, точка A лежит на биссектрисе MK. Докажите, что AB = AC.

В данном треугольнике BMC стороны BM и MC равны, и точка A лежит на биссектрисе угла MK. Необходимо доказать, что AB = AC.

1. Геометрия треугольника BMC:
   В треугольнике BMC стороны BM и MC равны, то есть треугольник BMC — равнобедренный. Это означает, что углы при основаниях BM и MC также равны, то есть угол BMC равен углу MCB.

2. Точка A на биссектрисе:
   Точка A лежит на биссектрисе угла MK, следовательно, отрезок MA делит угол MK пополам. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому биссектрисой угла MK точка A делит угол на два равных угла.

3. Рассмотрим два треугольника:
   Рассмотрим треугольники ABM и ACM. Поскольку точка A лежит на биссектрисе угла MK, это означает, что углы BAM и CAM равны, так как они являются половинами угла MK. Также известно, что стороны BM и MC равны (по условию задачи), а точка A лежит на общей прямой MA. Поэтому, по признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол, или же по признаку равенства двух треугольников, в которых одна сторона равна, а углы по обе стороны этой стороны равны), треугольники ABM и ACM равны.

4. Заключение:
   Так как треугольники ABM и ACM равны, то их соответствующие стороны AB и AC также равны. Следовательно, AB = AC.

Таким образом, доказано, что AB = AC.