Доказать, что функция F является первообразной для функции f на всей числовой прямой: F(x) = (1/16) * x^4, f(x) = (1/4) * x^3.

Для того чтобы доказать, что функция $F(x) = \frac{1}{16} x^4$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{4} x^3$ на всей числовой прямой, нужно показать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.

Для этого вычислим производную функции $F(x)$.

Теперь применим правило дифференцирования степенной функции:

Как видим, производная функции $F(x)$ действительно равна $f(x)$:

Таким образом, $F(x) = \frac{1}{16} x^4$ является первообразной для $f(x) = \frac{1}{4} x^3$ на всей числовой прямой, так как $F'(x) = f(x)$.