Найдите наименьшее значение функции \( y = (x + 31)^2 e^{-31 - x} \) на отрезке \([-31; -30]\).

Для нахождения наименьшего значения функции $y = (x + 31)^2 e^{-31 - x}$ на отрезке $[-31; -30]$, нам нужно:

1. Найти производную функции, чтобы найти точки экстремумов.

2. Проверить значения функции в концах отрезка и в точках, где производная равна нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции

Функция $y = (x + 31)^2 e^{-31 - x}$ является произведением двух функций: $(x + 31)^2$ и $e^{-31 - x}$. Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

где $u(x) = (x + 31)^2$, а $v(x) = e^{-31 - x}$.

• $u'(x) = 2(x + 31)$

• $v'(x) = -e^{-31 - x}$ (так как производная $e^{-31 - x}$ по $x$ равна $-e^{-31 - x}$)

Теперь применим правило дифференцирования:

Упростим выражение:

Далее, упростим выражение в скобках:

Таким образом, производная функции будет:

Шаг 2: Найдем критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

Поскольку экспоненциальная функция $e^{-31 - x}$ никогда не равна нулю, достаточно приравнять к нулю множитель $(x + 31)(-x - 29)$:

Это уравнение равно нулю при $x + 31 = 0$ или $-x - 29 = 0$, что дает решения:

• $x + 31 = 0$ $\Rightarrow x = -31$

• $-x - 29 = 0$ $\Rightarrow x = -29$

Шаг 3: Проверка значений функции на отрезке

На отрезке $[-31; -30]$ нас интересуют значения функции в точках $x = -31$ и $x = -30$, так как $x = -29$ не принадлежит отрезку.

1. В точке $x = -31$:

   $$y(-31) = (-31 + 31)^2 e^{-31 - (-31)} = 0^2 e^0 = 0$$

2. В точке $x = -30$:

   $$y(-30) = (-30 + 31)^2 e^{-31 - (-30)} = 1^2 e^{-1} = e^{-1}$$