Найдите интервалы возрастания и убывания функции, а также точки экстремума функции \( y = x^3 - 9x^2 + 15x - 3 \).

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции $y = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$ и точек экстремума, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Нахождение производной функции

Для начала находим первую производную функции, которая поможет выявить критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).

Применим правила дифференцирования:

2. Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, приравниваем первую производную к нулю:

Упростим это уравнение:

Решаем квадратное уравнение с помощью формулы:

Таким образом, получаем два корня:

3. Нахождение типа экстремума (максимум или минимум)

Чтобы понять, какой экстремум (максимум или минимум) имеет функция в этих точках, нужно исследовать знак второй производной функции.

Нахожим вторую производную функции:

Теперь подставим критические точки в вторую производную:

• Для $x = 1$:

Так как $y''(1) < 0$, то в точке $x = 1$ находится локальный максимум.

• Для $x = 5$:

Так как $y''(5) > 0$, то в точке $x = 5$ находится локальный минимум.

4. Определение интервалов возрастания и убывания

Интервалы возрастания и убывания можно определить, исследуя знак первой производной $y' = 3x^2 - 18x + 15$ на промежутках, определяемых критическими точками.

• Для $x < 1$ (интервал $(-\infty, 1)$):

Выбираем точку, например, $x = 0$:

Так как производная положительна, функция возрастает на интервале $(-\infty, 1)$.

• Для $1 < x < 5$ (интервал $(1, 5)$):

Выбираем точку, например, $x = 3$:

Так как производная отрицательна, функция убывает на интервале $(1, 5)$.

• Для $x > 5$ (интервал $(5, +\infty)$):

Выбираем точку, например,