напишите свойства функции y=5/x

Функция $y=\dfrac{5}{x}$ — гипербола. Её основные свойства:

1. Область определения (D): все действительные $x$, кроме нуля: $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.

2. Область значений (E): все действительные $y$, кроме нуля: $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.

3. Нули и пересечения с осями:

• Нулей нет (уравнение $\frac{5}{x}=0$ решений не имеет).

• С осью $Oy$ не пересекается (в $x=0$ не задана).

• С осью $Ox$ не пересекается (значение $y=0$ недостижимо).

4. Знаки и расположение ветвей:

• При $x>0$: $y>0$ — ветвь в I четверти.

• При $x<0$: $y<0$ — ветвь в III четверти.

5. Нечётность (симметрия):

поэтому функция нечётная; график симметричен относительно начала координат.

6. Непрерывность и гладкость: непрерывна и дифференцируема на каждом из промежутков $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$. Разрыв второго рода в точке $x=0$.

7. Производные и монотонность:

поэтому строго убывает на $(-\infty,0)$ и на $(0,+\infty)$.

8. Вогнутость/выпуклость (вторая производная):

• На $(0,+\infty)$: $f''(x)>0$ — график выпуклый вверх (вогнутость вниз отсутствует).

• На $(-\infty,0)$: $f''(x)<0$ — график вогнутый вниз.

9. Асимптоты:

• Вертикальная: $x=0$.

• Горизонтальная: $y=0$.

10. Пределы (поведение):

• $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty,\;\; \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-\infty.$

• $\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} f(x)=0$ (сверху при $x\to +\infty$, снизу при $x\to -\infty$).

11. Экстремумы и наиб./наим. значения: экстремумов нет; на своей области определения не ограничена ни сверху, ни снизу.

12. Обратная функция: биективна на каждом из промежутков $(0,+\infty)$ и $(-\infty,0)$; обратная имеет вид $x=\dfrac{5}{y}$ (график симметричен относительно прямой $y=x$).

Коротко: классическая гипербола $k/x$ с $k=5$, нечётная, строго убывающая на каждом из двух промежутков, с асимптотами $x=0$ и $y=0$.