При каких а уравнение (a-3)x^2+(a+12)x+a+21=0 имеет один корень?

Уравнение $(a-3)x^2 + (a+12)x + a+21 = 0$ имеет один корень, если его дискриминант равен нулю. Это условие для уравнений второй степени с единственным корнем.

Общий вид уравнения второй степени:

$Ax^2 + Bx + C = 0$

В нашем случае:

• $A = a - 3$

• $B = a + 12$

• $C = a + 21$

Дискриминант для уравнения второй степени рассчитывается по формуле:

$\Delta = B^2 - 4AC$

Подставим наши значения:

$\Delta = (a + 12)^2 - 4(a - 3)(a + 21)$

Раскроем скобки:

$\Delta = (a^2 + 24a + 144) - 4(a^2 + 18a - 63)$

Теперь упростим выражение:

$\Delta = a^2 + 24a + 144 - 4a^2 - 72a + 252$

$\Delta = -3a^2 - 48a + 396$

Для того, чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

$-3a^2 - 48a + 396 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$-3(a^2 + 16a - 132) = 0$

$\Rightarrow a^2 + 16a - 132 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

Где $A = 1$, $B = 16$, $C = -132$.

Подставим значения:

Таким образом, у нас два корня:

и

Ответ: уравнение имеет один корень при $a = 6$ или $a = -22$.