Решите уравнение (напишите с подробным решением) \(17^{2x+3} = \left(\frac{1}{289}\right)^x\)

Для решения уравнения $17^{2x + 3} = \left( \frac{1}{289} \right)^x$, начнем с преобразования выражений, чтобы упростить уравнение.

1. Приведение правой части уравнения к основанию 17:

   Мы знаем, что $289 = 17^2$, поэтому можно переписать правую часть уравнения:

   $$\left( \frac{1}{289} \right)^x = \left( 17^{-2} \right)^x = 17^{-2x}.$$

   Таким образом, уравнение становится:

   $$17^{2x + 3} = 17^{-2x}.$$

2. Приравниваем показатели степеней:

   Поскольку у нас одинаковые основания (17), можно приравнять показатели степеней:

   $$2x + 3 = -2x.$$

3. Решаем полученное линейное уравнение:

   Переносим все члены с $x$ на одну сторону:

   $$2x + 2x = -3,$$ $$4x = -3.$$

   Разделим обе части уравнения на 4:

   $$x = \frac{-3}{4}.$$

Ответ: $x = -\frac{3}{4}$.