Решить уравнение \(9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30\).

Для того чтобы решить уравнение $9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$, начнем с преобразования выражений в одинаковую форму.

1. Обратите внимание, что $9$ можно выразить как степень числа $3$:

   $$9 = 3^2$$

   Следовательно, $9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2}$.

2. Теперь уравнение становится:

   $$3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 30$$

3. Заметим, что в обоих членах у нас встречается степень с основанием $3$. Чтобы упростить, вынесем $3^{2x+2}$ за скобки:

   $$3^{2x+2} (1 + 3^2) = 30$$

4. Поскольку $3^2 = 9$, то получаем:

   $$3^{2x+2} (1 + 9) = 30$$ $$3^{2x+2} \cdot 10 = 30$$

5. Разделим обе стороны на 10:

   $$3^{2x+2} = 3$$

6. Поскольку $3 = 3^1$, то можем приравнять степени числа $3$:

   $$2x + 2 = 1$$

7. Решим это линейное уравнение:

   $$2x = 1 - 2$$ $$2x = -1$$ $$x = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.