Sin(-7п)- 2 cos 31п/3- tg 7п/4 вычислить

Для того чтобы вычислить выражение $\sin(-7\pi) - 2 \cos\left(\frac{31\pi}{3}\right) - \tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)$, давайте разберемся с каждым из элементов по очереди.

1. Синус: $\sin(-7\pi)$

   Сначала заметим, что синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Таким образом:

   $$\sin(-7\pi) = -\sin(7\pi)$$

   Поскольку $7\pi$ — это целое количество $\pi$, а синус от целого числа $\pi$ равен нулю, то:

   $$\sin(7\pi) = 0$$

   Следовательно:

   $$\sin(-7\pi) = -0 = 0$$

2. Косинус: $\cos\left(\frac{31\pi}{3}\right)$

   Чтобы упростить $\frac{31\pi}{3}$, разделим его на целые циклы $2\pi$, так как косинус имеет период $2\pi$:

   $$\frac{31\pi}{3} = 10\pi + \frac{\pi}{3}$$

   Косинус функции с периодом $2\pi$ будет равен косинусу угла, который остался после вычитания целых периодов, то есть:

   $$\cos\left(\frac{31\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

   Известно, что:

   $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

   Таким образом:

   $$\cos\left(\frac{31\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

3. Тангенс: $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)$

   Чтобы найти $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)$, заметим, что угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертой четверти, и его можно представить как:

   $$\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$$

   Тангенс имеет период $\pi$, и мы знаем, что:

   $$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

   В четвертой четверти тангенс будет отрицательным, поэтому:

   $$\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -1$$

Теперь подставим все эти значения в исходное выражение:

Упрощаем:

Ответ: $0$.