Секретарь отправляет 5 писем по пяти адресам,раскладывая эти письма в конверты случайным образом.Какова вероятность того,что хотя бы одно письмо будет отправлено по правильному адресу.

Для решения задачи о вероятности того, что хотя бы одно письмо будет отправлено по правильному адресу, рассмотрим её через концепцию вероятности противоположного события, то есть того, что ни одно письмо не будет отправлено по правильному адресу.

Шаг 1: Определим общее количество возможных способов разложить письма

Письма можно отправить по 5 адресам любым образом, то есть количество всех возможных способов разложить письма по конвертам будет равно количеству перестановок 5 объектов, то есть $5!$.

Шаг 2: Рассмотрим противоположное событие

Противоположное событие — это ситуация, когда ни одно письмо не попадет в правильный конверт. Это называется дерangement (перестановка без фиксации), и количество таких перестановок для 5 элементов можно вычислить по формуле для дерранжмента:

Подставим значения и вычислим:

Таким образом, количество способов, когда ни одно письмо не будет отправлено по правильному адресу, равно 44.

Шаг 3: Вероятность противоположного события

Теперь можно найти вероятность того, что ни одно письмо не попадет в правильный конверт, как отношение числа таких перестановок к общему количеству возможных перестановок:

Шаг 4: Вероятность того, что хотя бы одно письмо будет на своем месте

Теперь, зная вероятность противоположного события, можем найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в правильный конверт, вычтя её из 1:

Ответ:

Вероятность того, что хотя бы одно письмо будет отправлено по правильному адресу, составляет примерно $\frac{19}{30}$, или около 0.6333, что составляет примерно 63,33%.