Два угла треугольника равны 63° и 27°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины третьего угла.

Третий угол равен $180^\circ-63^\circ-27^\circ=90^\circ$. Значит, треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. Из $C$ проводим высоту $CH$ и медиану $CM$ к гипотенузе $AB$.

Удобно взять координаты: $C=(0,0)$, $A=(m,0)$, $B=(0,n)$. Тогда

• наклон прямой $AB$ равен $-\frac{n}{m}$;

• высота из $C$, перпендикулярная $AB$, имеет наклон $\frac{m}{n}$;

• медиана к гипотенузе идёт в середину $M\!\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)$, её наклон $\frac{n}{m}$.

Иначе говоря, угловые коэффициенты:

Угол между двумя прямыми с наклонами $\tan\alpha$ и $\tan\beta$ равен $|\alpha-\beta|$. Следовательно, угол между $CH$ и $CM$:

Ответ: $36^\circ$.