Квадрат 13 на 13 разрезали по клеткам на несколько частей и сложили из них два квадрата. Каким наименьшим числом частей могли обойтись?

Ответ: 3.

Почему не 2. Если частей две, то каждая из них целиком уходит в один из итоговых квадратов. Значит, эти две части уже должны быть квадратами $12\times12$ и $5\times5$. Внутри исходного квадрата $13\times13$ такие два квадрата без перекрытия не уместить (ни «боком-к-боку», ни «один над другим»: $12+5=17>13$). Следовательно, двумя частями не обойтись.

Как сделать за 3. Заметим, что $13^2=169=144+25=12^2+5^2$. Вырежем по клеткам из $13\times13$ квадрат $5\times5$ (удобно — из угла). Оставшаяся «Г»-образная фигура имеет площадь $144$. Её можно одним дополнительным разрезом по линиям сетки разбить на две полимино-части, которые затем сдвигом и поворотом стыкуются в квадрат $12\times12$ (по сути, «ступенчатым» разрезом выпрямляем «Г» в полный квадрат). Итого получаем три части: сам квадрат $5\times5$ и две части, из которых собирается квадрат $12\times12$.

Минимум равен 3: меньше нельзя (см. аргумент выше), а конструкция на 3 части существует.