Найдите точку минимума y=-x/(x^2 + 256)

Ищу экстремумы функции

1. Производная (правило частного/произведения):

2. Критические точки: знаменатель $>0$ при всех $x$, поэтому

3. Характер экстремумов: знак $y'$ определяется числителем $x^2-256$:

• при $|x|<16$ $y'<0$ (убывает),

• при $|x|>16$ $y'>0$ (возрастает).

Значит, в $x=-16$ — максимум, в $x=16$ — минимум.

4. Значение функции в точке минимума:

Итог: точка минимума — $x=16$, минимальное значение $y_{\min}=-\dfrac{1}{32}$.