Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна 8 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нужно использовать следующую формулу:

где $V$ — объем, $S$ — площадь основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

Площадь основания $S$ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна:

где $a$ — длина стороны квадрата.

Теперь давайте рассмотрим диагональ параллелепипеда. Диагональ образует с плоскостью основания угол 45°. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения диагонали параллелепипеда.

Диагональ $d$ параллелепипеда, которая соединяет противоположные вершины, можно вычислить по формуле:

Из условия задачи известно, что угол между диагональю и плоскостью основания равен 45°. Для того чтобы найти $a$, можно воспользоваться тригонометрией. Угол 45° означает, что диагональ на плоскости основания образует с горизонтальной осью такой же угол. В таком случае, если угол между диагональю и плоскостью основания равен 45°, то можно записать:

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

Подставим $h = 8$ см и решим это уравнение относительно $a$:

Преобразуем уравнение:

Возводим обе стороны в квадрат:

Следовательно, $a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь можем найти объем параллелепипеда. Площадь основания $S$ равна:

И, наконец, объем $V$ параллелепипеда:

Ответ: объем параллелепипеда равен 256 см³.